Une ptite enigme mathématique !
La somme des pages d’un livre est 1986.
Mais dans ce total une page fut comptée 2 fois !
Combien de pages comporte le livre ?
Quelle est la page doublée ?
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Le Livre
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Le Livre
de DegAl le Mar Jan 04, 2005 00:09
Une ptite enigme mathématique !
La somme des pages d’un livre est 1986.
Mais dans ce total une page fut comptée 2 fois !
Combien de pages comporte le livre ?
Quelle est la page doublée ?
Amicalement,
DegAl
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DegAl - Beau parleur
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de galeiade le Mar Jan 04, 2005 00:40
explique Peter la formule de maths stp 
Juillet est le mois où des millions de visages sont heureux, souriants, épanouis, lumineux. Ce sont ceux des profs !
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galeiade - Orateur d'or
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de peter le Mar Jan 04, 2005 00:57
Alors pour résoudre ce problème, je me suis servi d'EXCEL.
Sur une colonne j'ai numéroté chaque cellule comme ci-dessous selon une série égale à 1 (donc sur chaque ligne de la colonne on a le numéro croissant des pages du livre) :
1
2
3
4
5
Etc...
Ensuite, j'ai procédé par tatonnement (je n'ai pas du tout l'esprit mathématique). C'est à dire que je me suis arrêté à une cellule, celle où il y avait le numéro 84 et j'ai fait le total des numéros de pages. La somme que j'ai obtenu était égale à 3570, alors je suis monté plus haut et j'ai fait la même chose.
J'ai observé qu'à la cellule " 62 " j'obtenais une somme de 1953 alors qu'à la cellule " 63 ", la somme obtenue était de 2016. Or 1986 est compris entre 1953 et 2016. Donc 1953 était le total exact des numéros de pages du livre... Quand à savoir quelle page a été doublée, il suffisait de faire :
1986 - 1953 pour obtenir 33.
Je sais, j'ai procédé par tatonnement et je n'ai pas pris la peine de conceptualiser le problème en équation... ou en formule magique. Peut-être que Cobra a une méthode plus lumineuse que la mienne... et davantage digne d'un esprit scientifique. Je conçois que ma méthode était un peu laborieuse, mais EXCEL aidant ça m'a pris 1 minute!
Sur une colonne j'ai numéroté chaque cellule comme ci-dessous selon une série égale à 1 (donc sur chaque ligne de la colonne on a le numéro croissant des pages du livre) :
1
2
3
4
5
Etc...
Ensuite, j'ai procédé par tatonnement (je n'ai pas du tout l'esprit mathématique). C'est à dire que je me suis arrêté à une cellule, celle où il y avait le numéro 84 et j'ai fait le total des numéros de pages. La somme que j'ai obtenu était égale à 3570, alors je suis monté plus haut et j'ai fait la même chose.
J'ai observé qu'à la cellule " 62 " j'obtenais une somme de 1953 alors qu'à la cellule " 63 ", la somme obtenue était de 2016. Or 1986 est compris entre 1953 et 2016. Donc 1953 était le total exact des numéros de pages du livre... Quand à savoir quelle page a été doublée, il suffisait de faire :
1986 - 1953 pour obtenir 33.
Je sais, j'ai procédé par tatonnement et je n'ai pas pris la peine de conceptualiser le problème en équation... ou en formule magique. Peut-être que Cobra a une méthode plus lumineuse que la mienne... et davantage digne d'un esprit scientifique. Je conçois que ma méthode était un peu laborieuse, mais EXCEL aidant ça m'a pris 1 minute!
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peter - Beau parleur
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de DegAl le Mar Jan 04, 2005 01:25
Moi g 2 solutions !
Solution 1:
N = nombre de pages du livre
Formule pour trouver la somme des pages du livre est :
N x (N + 1)/2 = 1986
Donc
N x (N+1) = 3972
N2 + N – 3972 = 0
Delta = 1 - 4 (-3972) = 1 + 15888 = 15889
X1 = (-1 – R15889)/2 = (-1 -126,05)/2 = - 63,52
X2= (-1 + R15889)/2 = (-1 + 126,05)/2 = 62,52
X1 ne peut pas etre solution
X2 est donc le nb de page du livre
La partie décimal de X2 est l’erreur créée par la page supplémentaire
La somme des pages du livre est 1953
Le livre a 62 pages
La page doublée est 1986 – 1953 = 33
Solution 2:
N = nb de pages du livre
Supposons un livre de 45 pages
Le double de la somme des pages est :
N x (N + 1)
45 x (45 + 1) = 2070
La racine carrée de 2070 est 45,4972
45,4972 x 45,4972 = 2070
La racine carrée est donc une super approximation
Appliquons le :
Double de la somme des pages : 1986 x 2 = 3972
Racine carrée de 3972 = 63,0238
Nous savons qu’une page a été doublée
Nous avons donc 62 ou 63 pages
Prenons 63 pages :
63 x 64 = 4032
4032 / 2 = 2016
2016 > 1986 donc la solution 2016 est impossible !
Donc ça n’est pas 63
Prenons 62 pages :
62 x 63 = 3906
3906 / 2 = 1953
La somme des pages du livre est 1953
Le livre a 62 pages
La page doublée est 1986 – 1953 = 33
Solution 1:
N = nombre de pages du livre
Formule pour trouver la somme des pages du livre est :
N x (N + 1)/2 = 1986
Donc
N x (N+1) = 3972
N2 + N – 3972 = 0
Delta = 1 - 4 (-3972) = 1 + 15888 = 15889
X1 = (-1 – R15889)/2 = (-1 -126,05)/2 = - 63,52
X2= (-1 + R15889)/2 = (-1 + 126,05)/2 = 62,52
X1 ne peut pas etre solution
X2 est donc le nb de page du livre
La partie décimal de X2 est l’erreur créée par la page supplémentaire
La somme des pages du livre est 1953
Le livre a 62 pages
La page doublée est 1986 – 1953 = 33
Solution 2:
N = nb de pages du livre
Supposons un livre de 45 pages
Le double de la somme des pages est :
N x (N + 1)
45 x (45 + 1) = 2070
La racine carrée de 2070 est 45,4972
45,4972 x 45,4972 = 2070
La racine carrée est donc une super approximation
Appliquons le :
Double de la somme des pages : 1986 x 2 = 3972
Racine carrée de 3972 = 63,0238
Nous savons qu’une page a été doublée
Nous avons donc 62 ou 63 pages
Prenons 63 pages :
63 x 64 = 4032
4032 / 2 = 2016
2016 > 1986 donc la solution 2016 est impossible !
Donc ça n’est pas 63
Prenons 62 pages :
62 x 63 = 3906
3906 / 2 = 1953
La somme des pages du livre est 1953
Le livre a 62 pages
La page doublée est 1986 – 1953 = 33
Amicalement,
DegAl
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